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『無限論の教室』

無限論の教室』 講談社現代新書
野矢 茂樹 著
講談社 1998

calcさんが僕の網にかかってくれた記念(笑)。こちらのコメント参照。



この本は、もうかなり前になってしまうが、一時期、大流行したと思うのだが、どうだろうか。20世紀の始めの「数学の危機」とよばれた形式主義と直感主義(もうひとつ論理主義もあるけど)の対立の問題からゲーデルの不完全性定理までの内容を、架空の大学での授業(ただし学生は2人しかいない)という形で解説されている。かなり難しい問題だが、とても平易に書かれているだけでなく、著者のとてもうまい説明は感動的でさえある。

登場人物のタジマ先生は可能無限しか認めない直感主義の生き残り(?)で、実無限を否定する授業を展開し、「無限とは数でも量でもない」と言い切る。

実際、僕の経験では、解析学の先生など多くの数学の先生は「無限を実在すると扱ってはいけない」と言う先生は多いと思う。僕は何人かの先生から聞いた記憶がある。たぶん、僕が間違ってると思うんだけど、「選択公理」ってのは数学が無限を実在するものとして扱えるためにあるんじゃないの?って思ってしまっている。だから、数学者は、言葉では「無限は実在しない」といいつつ、実際は実在するように扱ってるじゃんって思ってしまう。この点はよく分かっていないので、誰か教えてください。きっとcalcさんが教えてくれるに違いないと信じている(calcさん、お願いしますm(__)m)。

そんなわけで、数学の見方がちょっと変わるかもしれない面白い本である。まあ、有名な本だから、取り上げる意味はないのだが。

野矢茂樹先生の教科書としては『論理学』(東大出版会 1994)が、歴史的背景も含めて詳しく書かれている。
| 観た・聴いた・読んだ | 19:52 | comments(13) | trackbacks(0) | ↑PAGE TOP
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コメント
なんかnetwindさんの術中にまんまとはまっています(苦笑)。
本当は、これに関する回答は数学者なり数学者の卵(修士過程、博士課程)にしてもらうほうがいいのですが、この方はここには来ない?ようなので私がモルモットになります。

以下私の経験と推測です。数学者といわれる数のサンプリング数は統計学上は不十分で、2人にしか聞いたことがありません。
したがって、数学者の意見を代表したものではないことだけ断っておきます。

(経験)
質問した点は、「選択公理を正しいと思うか?」です。答えは、2名とも「正しいかどうかはわからない」でした。(ちなみに、2名のうち、1名は作用素環などの位相解析学を専門分野にする教授、一人は数論および保型形式を中心とした代数学を専門分野にする助教授でした)。2人とも、講義の中で、選択公理を使って命題の証明をしているのです。それ以上の質問をしたかどうかは覚えていません。20年以上も前のことですが、この点だけ覚えています。


以下は私の推測です。
(推測)
「無限の論理を使わない、選択公理を使わないときの、数学の内容の貧しさ(=つまらなさ)はある程度わかっている。現代数学は、公理的集合論のZFC(選択公理含む公理系群)から出発したもので覆われるのだし、ZFC自体が無矛盾であることは証明できないことも証明されている。したがって無限の論理、選択公理が正しいか否かという議論は不毛で、ZFCから出発して演繹できるものを認めて研究していこう。」

ちなみに、ZFCのひとつは、”無限集合が存在する”という公理です。

(結論)
”無限が存在するかどうか”、”選択公理は正しいか否か”という質問は不毛で、あくまでも仮定の一つとして、ZFCがあり、それから出発して論理的に演繹されるものを数学として研究していく。万が一、ZFCから矛盾が発見されたら、そのときは仮定を変更し、その変更された公理系から数学の研究を続けていく。
もちろん、心情的に”無限は存在しない”、”無限はしっくりこない”などと思っている人もいると思う。

これ以上については明日また書きますね。
| calc | 2004/06/24 12:53 AM |
僕もサンプル数は少ないんですけど。

ゲーム理論ではFolk Theoremというものがあります。
まあ、内容は関係ないんですけど、簡単に言うと
「囚人のジレンマゲーム」を永遠に繰り返す状況だと
one-shot gameとは違う均衡が出てくるというもの
なのですが、ある数学者が
「Folk Theoremは間違っている。それは無限を実在する
ものとして、証明しているから」って言うのを聞いて、
それはちょっとひどいんじゃないか、数学者が無限を
実在するものとして扱ってるから、ゲーム理論家が
そのように証明したんだと思った記憶があります。
今でも尊敬する先生の一人ですが、それは暴言だよな〜
と思っています。

あと、ちゃんとした経済学を勉強した人間にとっては
「ブラウアーの不動点定理」は知っておかなければならない
定理のひとつなのですが、彼が直感主義を掲げて、ヒルベルトと
対立したということを知っている経済学者はあまりいない
気がします。
| netwind | 2004/06/24 7:49 PM |
はじめまして. netwindさん.

>なんかnetwindさんの術中にまんまとはまっています(苦笑)。
>本当は、これに関する回答は数学者なり数学者の卵(修士過程、博士>課程)にしてもらうほうがいいのですが、この方はここには来ない>?ようなので

これは俺のことなんだろうか・・・?ただ単に僕は知らなかっただけですよ^^;

無限については古くから議論されてますし, 公理について考えてみる事は非常に大事だと考えています.
例えばユークリッド原論のなかの第5公準などいい例ですよね. 第5公準を否定しそこから矛盾を導くのではなく,第5公準を否定しても矛盾のない論理体系としての幾何学を構成できるのでは?と考えてボーヤイ,ロバチェフスキーが非ユークリッド幾何学を作ったんだと習いました.
ですから, 僕は公理系について現在は疑っていないと言うのが今のスタンスです.(これからも変わらないか?と聞かれたらわかりませんが・・・) ちなみに「宇宙はコンパクトである」と聞いた事はありますが, 記憶が定かではありません(しこたまお酒を飲んでいたもので^^;)
| knotmanifold | 2004/06/24 11:18 PM |
knotmanifoldさん

はじめまして。多分、今ものすごくこのサイト重かったと思います。すみませんね。JUGEMさんはここのとこものすごくアクセスが重くて。。。2つの同じメッセージが入っていたので、ひとつは消させていただきました。。

この本なんか、いかがですか? 数学を専攻している方の感想を聞きたいですね。

ぜひ、「宇宙はコンパクトである」を証明してください。とりあえず言っときますが、僕は納得できませ〜〜〜ん(笑。根拠なし)。
| netwind | 2004/06/25 12:00 AM |
まず、昨日の私の書き込みの訂正(&自己批判)から。
>ZFC自体が無矛盾であることは証明できないことも証明されている。
これは誤解を招きやすい書き方で、言いたかったのは、「ZF自体が無矛盾ならば、それに選択公理を加えたZFCも無矛盾である」(ゲーデル)でした。また、「ZFが無矛盾ならば、ZFに選択公理の否定を天下した公理系も無矛盾である」(コーエン)も証明されている。
(このことを、ZFの無矛盾性の仮定のもとで、選択公理の無矛盾性と独立性が証明された、ということがある)

以上、お詫びして訂正します。
さて、議論を先に進めます。

>実際、僕の経験では、解析学の先生など多くの数学の先生は「無限を実在すると扱ってはいけない」と言う先生は多いと思う。僕は何人かの先生から聞いた記憶がある。
揚げ足を取るわけではないことを断った上で、”「無限を実在すると扱ってはいけない」”という言葉がどのようなことを意味しているのか、確認する必要がある。

素朴集合論から発生したさまざまなパラドックスを回避するため、数学基礎論、公理的集合論が考えられ、ZFが最低限の公理系として考えられた。無限を認めない、選択公理を使わない数学(者)もあるだろうが、大多数の数学者は、実質的にはZFCのもとに論理記号で書き下せるものを数学として研究していると思われる。

バナッハ・タルスキーの逆理など、心情的には矛盾か?と思ってしまう命題も証明できてしまうZFCであるが、例えると、

ZFC=お釈迦様
大多数の数学者=お釈迦様の手のひらで遊ぶ孫悟空

で、例外(の数学者)はいるにしても、大多数の数学者はZFCから逃れることはできないと、私は思う。

これ以上の件は3日間ほど時間を下さい(土日も行事があるので)。

追伸:netwindさんが挙げた「無限論の教室」は今日探すつもりでしたが、都合あっていけませんでした。
| calc | 2004/06/25 3:53 PM |
> 揚げ足を取るわけではないことを断った上で、
> ”「無限を実在すると扱ってはいけない」”という言葉が
> どのようなことを意味しているのか、確認する必要がある。

揚げ足を取るなんてとんでもない。まさしく、この言葉がどういうことを意味しているかが、僕の本質的な疑問です。

僕のguessは、「選択公理を認める」=「無限を実在すると扱う」なんです。間違っている可能性があります(ていうかその可能性が高い)。

この点が、一番の知りたいところなんです。
| netwind | 2004/06/25 10:46 PM |
選択公理から見た数学
選択公理がいかに使われているか
選択公理を使えないとどの程度数学が貧弱になるか
選択公理と対立する公理な何か

などの観点で、借りてきた本を読んでみます。
また明日にでも途中経過を報告しますね。
| calc | 2004/06/26 2:32 PM |
お願いしま〜す(笑)。自分でやれって感じなんですけどね。むか〜し、一時期、一生懸命、公理的集合論の本を読んだんですけど、結局はっきりと分からなかったんです。だから、ず〜とguessの状態で、気になっていた。もし、教えてもらえれば、ほんと、ありがたいです。
| netwind | 2004/06/27 12:46 AM |
私、
at most countableなんてタイトルのブログをやってるクセに、
この辺の話題について、怪しくなってきています。
やばいなぁ、でも、数学の専門書なんて、
もう随分と読んでないし。
(こないだ、微分方程式の教科書を買ったんですが、
 あまり良い本じゃなくて、初歩的なトコでつまづいたまま放置してる・・・)
でも、
選択公理は知っていたけど、それを使った問題を解いた記憶がないんですね。
無限の関係する問題って解かなかったんだろうなぁ、多分。
(どっちかというと、解析より代数の方を勉強してたから、かな。)


確か、
「選択公理」と「連続体仮説」が同値だった記憶が・・・
(間違っていたらゴメンナサイ)
| めたか | 2004/06/27 10:22 PM |
まだ読書途中(というかほとんど進んでない!)なのですが、途中経過を報告します。

実は次の簡単な事柄を証明するのに、「選択公理」が必要なのですよ。

「無限集合は、可算部分集合を部分集合として含む」
どんな(=任意の)無限集合に対しても成り立つようにするためには、選択公理が必要なのです。これは、数学者でも知らない人がいるみたいです。

たとえば、
「開区間(0,1) と閉区間[0,1]は一対一対応(=等濃度であること)がつくことを示せ」
なんてまさにそうですね。

>めたか さん
>「選択公理」と「連続体仮説」が同値だった記憶が・・・
詳しくは明日?にでも書きますね。でも、この記事に反応するって、立派な無限マニア?ですね。

| calc | 2004/06/27 10:55 PM |
>でも、この記事に反応するって、立派な無限マニア?ですね。

いやぁ、だって、一応はそれ風のタイトル、付けていますもんねー。
だから、ずっとこの記事は気になっていたんです。
でも、私よりちゃんと分かっていそうな人がコメント付けているんで、
下手に口はさまない方が良いかなって思っていて。

それで、拝見してると、
netwindさんの言う「無限を実在すると扱う」って言葉の意味する事って、
連続体仮説が近いように思えてきたので、
「言い訳しながら」口をはさんでみたってところです。
| めたか | 2004/06/28 12:00 AM |
次の本のを斜め読みしました(大変でしたが勉強になりました)。

A.竹内外史 著 新装版 集合とは何か ブルーバックス 2001
B.田中尚夫 著 選択公理と数学 遊星社 1987

まず、「選択公理」と「連続体仮説」の関係について。

1.「一般連続体仮説」から「選択公理」が導かれること。
  (”一般”がついてます!かなり強力な仮定です)

2.逆にZF+「選択公理」から、「連続体仮説」は導かれない(=ZF+「選択公理」を満たし、「連続体仮説」が成り立たないモデルが存在する)

1.は1920年代、2.は1960年代に証明された、と書いてあります。2.の仕事は、「連続体仮説」はZF+「選択公理」から独立である、といい、ポール・コーエン(=アメリカの数学者で1966年フィールズ賞受賞)によります。

これだけ見ると、「一般連続体仮説」はかなり強力、それに比べると「選択公理」は存在定理としては強力だが、集合を規定する(=「連続体仮説」の導出)には役に立たない?と解釈できます(これは私のだけの解釈です!)。

これだけ調べるのにもかなりかかりました。まだ、面白いネタはあるのですが、「選択公理」ネタは私が消化しきれていないので、小休止(=1,2か月ほど寝かす)しましょう(といって逃げるー苦笑)。
| calc | 2004/06/28 10:55 PM |
calcさん

ありがとうございます。

僕も、めたかさんのコメントを見て、同値でしょ?って思ってました。

コーエンについて、どっかで読んだこともあるなぁと考え直してみると、松坂和夫著『集合・位相入門』の“あとがき”にも、一応、説明なしに、正しい情報が書いてありました。この本は公理的集合論の本ではないので。。。

僕も考えてみたいと思っているのですが、なかなか、公理的集合論の本を読める状態ではありません(読んでも分からないとも言う)ので、ゆっくり進めて、ぜひ、面白いネタをcalcさんのblogでも、いつか取り上げてもらえると、非常にうれしいです。
| netwind | 2004/06/29 12:14 AM |
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